Cílem práce zpracovat základní poznatky týkající se úlohy vlastních čísel
(čtvercových) matic, zejména věty o spektrálním, Schurově, resp. Jordanově rozkladu,
a zavést základní pojmy jako je charakteristický polynom, průvodní matice
polynomu, algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.
V druhé části práce pak provedeme stručnou rešerši v matematické praxi nejčastěji
se vyskytujících zobecnění úlohy vlastních čísel jako jsou např. klasický
zobecněný problém vlastních čísel, kvadratický problém vlastních čísel, ale
také na obecný polynomiální problém vlastních čísel.
V případech, kde to bude možné bude naznačeno, jak k řešení zobecněné
úlohy po teoretické stránce přistoupit (cílem práce není studium algoritmů
pro řešení takových úloh).
Anotace v angličtině
The goal of this thesis is to collect basic knoweledge about the standard
eigevalue problem for (square) matrices. In particular to recapitulate
the theorems about spectral, Schur's and Jordan's decompositions while
introducing the basic related objects like the characteristic polynomial,
companion matrix of a polynomial, algebraic and geometric multiplicity
of an eigenvalue.
In the other part of theis thesis, we explore a few generalizations
of the eigenvalue problem that are often studied in mathmatics. We focus
on the classical generalized eigenvalue problem, the
quadratic eigenvalue problem, and also on the general
polynomial eigenvalue problem.
We also briefly suggest, how to solve such generalized problems, but
only from the theoretical point of view (we do not study practical
real-world algoritms for solving such tasks).
Klíčová slova
vlastní číslo, vlastní vektor, Schurův rozklad, Jordanův rozklad, Spektrální rozklad,
problém vlastních čísel, zobecněný problém vlastních čísel, kvadratický problém vlastních čísel, polynomiální problém vlastních čísel
Cílem práce zpracovat základní poznatky týkající se úlohy vlastních čísel
(čtvercových) matic, zejména věty o spektrálním, Schurově, resp. Jordanově rozkladu,
a zavést základní pojmy jako je charakteristický polynom, průvodní matice
polynomu, algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.
V druhé části práce pak provedeme stručnou rešerši v matematické praxi nejčastěji
se vyskytujících zobecnění úlohy vlastních čísel jako jsou např. klasický
zobecněný problém vlastních čísel, kvadratický problém vlastních čísel, ale
také na obecný polynomiální problém vlastních čísel.
V případech, kde to bude možné bude naznačeno, jak k řešení zobecněné
úlohy po teoretické stránce přistoupit (cílem práce není studium algoritmů
pro řešení takových úloh).
Anotace v angličtině
The goal of this thesis is to collect basic knoweledge about the standard
eigevalue problem for (square) matrices. In particular to recapitulate
the theorems about spectral, Schur's and Jordan's decompositions while
introducing the basic related objects like the characteristic polynomial,
companion matrix of a polynomial, algebraic and geometric multiplicity
of an eigenvalue.
In the other part of theis thesis, we explore a few generalizations
of the eigenvalue problem that are often studied in mathmatics. We focus
on the classical generalized eigenvalue problem, the
quadratic eigenvalue problem, and also on the general
polynomial eigenvalue problem.
We also briefly suggest, how to solve such generalized problems, but
only from the theoretical point of view (we do not study practical
real-world algoritms for solving such tasks).
Klíčová slova
vlastní číslo, vlastní vektor, Schurův rozklad, Jordanův rozklad, Spektrální rozklad,
problém vlastních čísel, zobecněný problém vlastních čísel, kvadratický problém vlastních čísel, polynomiální problém vlastních čísel
Cílem práce zpracovat základní poznatky týkající se úlohy vlastních čísel
čtvercových matic, zejména věty o spektrálním resp. Jordanově rozkladu,
a zavést základní pojmy jako je charakteristický polynom, průvodní matice
polynomu, algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.
Na těchto základech pak provést stručnou rešerši v matematické praxi nejčastěji
se vyskytujících zobecnění úlohy vlastních čísel jako jsou např. klasický
zobecněný problém vlastních čísel (generalized eigenvalue problem),
kvadratický, případně obecný polynomiální problém vlastních čísel.
V případech, kde to bude možné bude naznačeno, jak k řešení zobecněné
úlohy přistoupit (po teoretické stránce; cílem práce není praktický výpočet).
Požadavky: Základní znalosti z lineární algebry, základní znalost
anglického jazyka. Práce by měla být psaná v LaTeXu, bude-li to v možnostech studenta.
Zásady pro vypracování
Cílem práce zpracovat základní poznatky týkající se úlohy vlastních čísel
čtvercových matic, zejména věty o spektrálním resp. Jordanově rozkladu,
a zavést základní pojmy jako je charakteristický polynom, průvodní matice
polynomu, algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.
Na těchto základech pak provést stručnou rešerši v matematické praxi nejčastěji
se vyskytujících zobecnění úlohy vlastních čísel jako jsou např. klasický
zobecněný problém vlastních čísel (generalized eigenvalue problem),
kvadratický, případně obecný polynomiální problém vlastních čísel.
V případech, kde to bude možné bude naznačeno, jak k řešení zobecněné
úlohy přistoupit (po teoretické stránce; cílem práce není praktický výpočet).
Požadavky: Základní znalosti z lineární algebry, základní znalost
anglického jazyka. Práce by měla být psaná v LaTeXu, bude-li to v možnostech studenta.
Seznam doporučené literatury
Zhaojun Bai, James Demmel, Jack Dongarra, Axel Ruhe, Henk van der Vorst:
Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems. A Practical Guide,
SIAM Publications, Philadalphia, 2000.
François Tisseur, Karl Meerberger:
The quadratic eigenvalue problem,
SIAM Review, Volume 43, Number 2 (2001), pp. 235--286.
Volker Mehrmann, David Watkins:
Polynomial eigenvalue problems with Hamiltonian strucure,
Electronic Transactions on Numerical Analysis, Volume 13 (2002), pp. 106--118.
D. Steven Mackey, Niloufer Mackey, Christian Mehl, Volker Mehrmann:
Structured polynomial eigenvalue problems: good vibrations from good linearizations,
SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Volume 28, Number 4 (2006), pp. 1029--1051.
Seznam doporučené literatury
Zhaojun Bai, James Demmel, Jack Dongarra, Axel Ruhe, Henk van der Vorst:
Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems. A Practical Guide,
SIAM Publications, Philadalphia, 2000.
François Tisseur, Karl Meerberger:
The quadratic eigenvalue problem,
SIAM Review, Volume 43, Number 2 (2001), pp. 235--286.
Volker Mehrmann, David Watkins:
Polynomial eigenvalue problems with Hamiltonian strucure,
Electronic Transactions on Numerical Analysis, Volume 13 (2002), pp. 106--118.
D. Steven Mackey, Niloufer Mackey, Christian Mehl, Volker Mehrmann:
Structured polynomial eigenvalue problems: good vibrations from good linearizations,
SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Volume 28, Number 4 (2006), pp. 1029--1051.