Při zkoumání rozsáhlých robotických soustav pro potřeby firmy ŠKODA AUTO a.s. byl
vytvořen software, který je zaměřen na kontrolu robotů a robotových standardů používaných
v koncernu Volkswagen AG. Součástí je i matematická knihovna, která řeší několik základní
inženýrských úloh. Jedná se o přímou a inverzní kinematickou úlohu v robotice a o řešení soustav
lineárních rovnic více proměnných. Při zkoumání numerických metod v rámci programování
uvedených úloh byly vyvinuty dva zcela nové algoritmy. Jedná se o metodu relaxace úhlu, která je
určena pro řešení soustav lineárních rovnic. Může být také nepřímo použita pro řešení inverzní
kinematické úlohy v robotice. Druhý algoritmus je přímo určen pro řešení inverzní kinematické úlohy
v robotice. V tomto případě se jedná o metodu relaxace délky.
Metoda relaxace úhlu je diskutována z hlediska základního principu a numerických vlastností
při výpočtu soustav lineárních rovnic. Je zkoumána rychlost konvergence, závislost na číslu
podmíněnosti a schopnost řešit obecné soustavy lineárních rovnic pro různé podoby matice soustavy.
V rámci jednotlivých experimentů se metoda porovnává s výsledky známých numerických metod.
Ukazuje se, že metoda relaxace úhlu konverguje k výsledkům podobným jako Mooreova-Penroseova
pseudoinverze i v případě singulární matice soustavy. Tato vlastnost je vhodná pro řešení inverzní
kinematické úlohy v robotice, protože se při výpočtu matice soustavy dynamicky mění v závislosti na
postavení kinematické struktury robota.
Aby bylo možné metodu relaxace úhlu použít pro výpočet inverzní kinematické úlohy
v robotice, vychází práce z přístupů, které převádí tuto problematiku do podoby soustav lineárních
rovnic. Jelikož inverzní kinematická úloha v robotice vede na soustavy nelineárních rovnic, jedná se
o přístupy, které linearizují řešení ve vybraném pracovním bodě pomocí Jacobiho matice, tzn.
Newtonova metoda, inverze Jacobiho matice a metoda Levenberg-Marquardt. Všechny tři přístupy jsou
odzkoušeny na kinematické struktuře planárního manipulátoru a robotu KUKA KR210 R2700 EXTRA.
Vzniklé soustavy lineárních rovnic jsou řešeny standardní cestou pomocí Mooreovy-Penroseovy
pseudoinverze a zároveň metodou relaxace úhlu. Výsledky obou přístupů jsou vyhodnoceny
a porovnány.
Na závěr práce je diskutována metoda relaxace délky, kterou lze zařadit do skupiny
heuristických metod. Metoda je popsána z hlediska jejího principu a porovnána se známými
heuristickými metodami CCD a FABRIK.
Anotace v angličtině
As part of a research of large robotic systems for the needs of SKODA AUTO, a.s. company
a inspectional software was developed. The software focuses on a control of robots and programming
standards used by Volkswagen AG. The software includes a mathematical library which solves several
basic engineering tasks. It is a problem of forward and inverse kinematics in robotics and a solution of
systems of linear equations. This work introduces two completely new algorithms which were
developed during the programming of the mathematical library. It is angle relaxation method which is
designed for solving of systems of linear equations. It can also be used indirectly to solve inverse
kinematics in robotics. The second algorithm is designed directly for solving of inverse kinematics in
robotics. In this case the work talks about length relaxation method.
The angle relaxation method is discussed from the point of view of basic principle and
numerical properties. A speed of convergence, a dependence on the condition number and an ability to
solve general systems of linear equations for different forms of matrices were examined. Results of
angle relaxation method were compared with results of known numerical methods. It appears that the
angle relaxation method converges to results similar to results of Moore-Penrose pseudoinverse. This
property is suitable for the solving of inverse kinematics in robotics because the system matrix is
dynamically changed during a calculation depending on a position of the kinematic structure of the
robot.
In order to use the angle relaxation method to calculate the inverse kinematics in robotics, the
work is based on approaches which transform the problem into systems of linear equations. The inverse
kinematics in robotics leads primarily to systems of nonlinear equations. For this reason approaches
were chosen which linearize the equation using a Jacobian matrix, i.e. Newton's method, inverse
Jacobian method and Levenberg-Marquardt method. All three approaches were tested on the kinematic
structure of the planar manipulator and the robot KUKA KR210 R2700 EXTRA. Systems of linear
equations were solved by a standard way using Moore-Penrose pseudoinverse and at the same time by
the angle relaxation method. Results of both approaches were evaluated and compared.
At the end of this work the length relaxation method is discussed which can be included in the
group of heuristic methods. The length relaxation method is described from the point of view of basic
principle and compared with known heuristic methods CCD and FABRIK.
Klíčová slova
soustavy lineárních rovnic, inverzní kinematická úloha, pseudoinverze, robotika
Klíčová slova v angličtině
systems of linear equations, inverse kinematics, pseudoinverse, robotics
Rozsah průvodní práce
86
Jazyk
CZ
Anotace
Při zkoumání rozsáhlých robotických soustav pro potřeby firmy ŠKODA AUTO a.s. byl
vytvořen software, který je zaměřen na kontrolu robotů a robotových standardů používaných
v koncernu Volkswagen AG. Součástí je i matematická knihovna, která řeší několik základní
inženýrských úloh. Jedná se o přímou a inverzní kinematickou úlohu v robotice a o řešení soustav
lineárních rovnic více proměnných. Při zkoumání numerických metod v rámci programování
uvedených úloh byly vyvinuty dva zcela nové algoritmy. Jedná se o metodu relaxace úhlu, která je
určena pro řešení soustav lineárních rovnic. Může být také nepřímo použita pro řešení inverzní
kinematické úlohy v robotice. Druhý algoritmus je přímo určen pro řešení inverzní kinematické úlohy
v robotice. V tomto případě se jedná o metodu relaxace délky.
Metoda relaxace úhlu je diskutována z hlediska základního principu a numerických vlastností
při výpočtu soustav lineárních rovnic. Je zkoumána rychlost konvergence, závislost na číslu
podmíněnosti a schopnost řešit obecné soustavy lineárních rovnic pro různé podoby matice soustavy.
V rámci jednotlivých experimentů se metoda porovnává s výsledky známých numerických metod.
Ukazuje se, že metoda relaxace úhlu konverguje k výsledkům podobným jako Mooreova-Penroseova
pseudoinverze i v případě singulární matice soustavy. Tato vlastnost je vhodná pro řešení inverzní
kinematické úlohy v robotice, protože se při výpočtu matice soustavy dynamicky mění v závislosti na
postavení kinematické struktury robota.
Aby bylo možné metodu relaxace úhlu použít pro výpočet inverzní kinematické úlohy
v robotice, vychází práce z přístupů, které převádí tuto problematiku do podoby soustav lineárních
rovnic. Jelikož inverzní kinematická úloha v robotice vede na soustavy nelineárních rovnic, jedná se
o přístupy, které linearizují řešení ve vybraném pracovním bodě pomocí Jacobiho matice, tzn.
Newtonova metoda, inverze Jacobiho matice a metoda Levenberg-Marquardt. Všechny tři přístupy jsou
odzkoušeny na kinematické struktuře planárního manipulátoru a robotu KUKA KR210 R2700 EXTRA.
Vzniklé soustavy lineárních rovnic jsou řešeny standardní cestou pomocí Mooreovy-Penroseovy
pseudoinverze a zároveň metodou relaxace úhlu. Výsledky obou přístupů jsou vyhodnoceny
a porovnány.
Na závěr práce je diskutována metoda relaxace délky, kterou lze zařadit do skupiny
heuristických metod. Metoda je popsána z hlediska jejího principu a porovnána se známými
heuristickými metodami CCD a FABRIK.
Anotace v angličtině
As part of a research of large robotic systems for the needs of SKODA AUTO, a.s. company
a inspectional software was developed. The software focuses on a control of robots and programming
standards used by Volkswagen AG. The software includes a mathematical library which solves several
basic engineering tasks. It is a problem of forward and inverse kinematics in robotics and a solution of
systems of linear equations. This work introduces two completely new algorithms which were
developed during the programming of the mathematical library. It is angle relaxation method which is
designed for solving of systems of linear equations. It can also be used indirectly to solve inverse
kinematics in robotics. The second algorithm is designed directly for solving of inverse kinematics in
robotics. In this case the work talks about length relaxation method.
The angle relaxation method is discussed from the point of view of basic principle and
numerical properties. A speed of convergence, a dependence on the condition number and an ability to
solve general systems of linear equations for different forms of matrices were examined. Results of
angle relaxation method were compared with results of known numerical methods. It appears that the
angle relaxation method converges to results similar to results of Moore-Penrose pseudoinverse. This
property is suitable for the solving of inverse kinematics in robotics because the system matrix is
dynamically changed during a calculation depending on a position of the kinematic structure of the
robot.
In order to use the angle relaxation method to calculate the inverse kinematics in robotics, the
work is based on approaches which transform the problem into systems of linear equations. The inverse
kinematics in robotics leads primarily to systems of nonlinear equations. For this reason approaches
were chosen which linearize the equation using a Jacobian matrix, i.e. Newton's method, inverse
Jacobian method and Levenberg-Marquardt method. All three approaches were tested on the kinematic
structure of the planar manipulator and the robot KUKA KR210 R2700 EXTRA. Systems of linear
equations were solved by a standard way using Moore-Penrose pseudoinverse and at the same time by
the angle relaxation method. Results of both approaches were evaluated and compared.
At the end of this work the length relaxation method is discussed which can be included in the
group of heuristic methods. The length relaxation method is described from the point of view of basic
principle and compared with known heuristic methods CCD and FABRIK.
Klíčová slova
soustavy lineárních rovnic, inverzní kinematická úloha, pseudoinverze, robotika
Klíčová slova v angličtině
systems of linear equations, inverse kinematics, pseudoinverse, robotics