Přirozená čísla mající právě dva různé přirozené dělitele, tedy prvočísla, hrají stěžejní roli v elementární aritmetice, díky čemuž se s nimi lidé potkávají a potýkají již od nepaměti. Do dnešních dní byla objevena celá řada pozoruhodných a často velmi důležitých vlastností těchto čísel. Další řada otázek souvisejících s prvočísly, např. s jejich rozložením na číselné ose, zůstává stále nezodpovězena. Zaměřili jsme se na hluboké souvislosti mezi prvočísly a dalšími disciplínami matematiky, např. na tzv. Riemannovu hypotézu. Dokázali jsme je i prakticky využít, např. v tzv. RSA šifrování či při jedenáctkovém samodetekujícím kódu.
Tato bakalářská práce si klade za cíl čtenáře seznámit s vybranými vlastnostmi prvočísel, včetně důkazů v těch případech, kdy to bude vhodné a zejména možné. Práce dále naznačí čtenáři v čem tkví souvislost mezi prvočísly a Riemannovou hypotézou, seznámí jej se základním principem metody RSA, případně dalšími vhodnými aplikacemi prvočísel v matematice.
Anotace v angličtině
Natural numbers with two different natural divisors, called prime numbers, are playing a key role in elementary arithmetic, thanks to which people have come across them since the beginning of time. To this day, there have been discovered a number of remarkable and often very important properties of these numbers. There are lots of alternative questions related to prime numbers, which remains unanswered, for example the location of prime numbers on the numerical axis. We focused on deep context between the prime numbers and other mathematical disciplines, namely Riemann hypothesis. We also discribed where they can be used, for instance in RSA algorithm and in eleven self-detecting code.
Main purpose of this bachelor thesis is to familiarize readers with selected properties of prime numbers, including proofs in which it would be appropriate and possible. Thesis also informs about the relationship between the prime numbers and the Riemann hypothesis, introduces the main principle of the RSA algorithm, eventually other applications of prime numbers in mathematics.
Přirozená čísla mající právě dva různé přirozené dělitele, tedy prvočísla, hrají stěžejní roli v elementární aritmetice, díky čemuž se s nimi lidé potkávají a potýkají již od nepaměti. Do dnešních dní byla objevena celá řada pozoruhodných a často velmi důležitých vlastností těchto čísel. Další řada otázek souvisejících s prvočísly, např. s jejich rozložením na číselné ose, zůstává stále nezodpovězena. Zaměřili jsme se na hluboké souvislosti mezi prvočísly a dalšími disciplínami matematiky, např. na tzv. Riemannovu hypotézu. Dokázali jsme je i prakticky využít, např. v tzv. RSA šifrování či při jedenáctkovém samodetekujícím kódu.
Tato bakalářská práce si klade za cíl čtenáře seznámit s vybranými vlastnostmi prvočísel, včetně důkazů v těch případech, kdy to bude vhodné a zejména možné. Práce dále naznačí čtenáři v čem tkví souvislost mezi prvočísly a Riemannovou hypotézou, seznámí jej se základním principem metody RSA, případně dalšími vhodnými aplikacemi prvočísel v matematice.
Anotace v angličtině
Natural numbers with two different natural divisors, called prime numbers, are playing a key role in elementary arithmetic, thanks to which people have come across them since the beginning of time. To this day, there have been discovered a number of remarkable and often very important properties of these numbers. There are lots of alternative questions related to prime numbers, which remains unanswered, for example the location of prime numbers on the numerical axis. We focused on deep context between the prime numbers and other mathematical disciplines, namely Riemann hypothesis. We also discribed where they can be used, for instance in RSA algorithm and in eleven self-detecting code.
Main purpose of this bachelor thesis is to familiarize readers with selected properties of prime numbers, including proofs in which it would be appropriate and possible. Thesis also informs about the relationship between the prime numbers and the Riemann hypothesis, introduces the main principle of the RSA algorithm, eventually other applications of prime numbers in mathematics.
Přirozená čísla mající právě dva různé přirozené dělitele, tedy prvočísla, hrají stěžejní roli v elementární aritmetice, díky čemuž se s nimi lidé potkávají a potýkají již od nepaměti. Do dnešních dní byla objevena celá řada pozoruhodných a často velmi důležitých vlastností těchto čísel. Další řada otázek souvisejících s prvočísly, např. s jejich rozložením na číselné ose, zůstává stále nezodpovězena. Našli jsme různá jejich zobecnění, např. tzv. Gaußova prvočísla. Našli jsme hluboké souvislosti mezi prvočísly a dalšími disciplínami matematiky, např. tzv. Riemannova hypotéza. Dokázali jsme je i prakticky využít, např. v tzv. RSA šifrování.
Tato bakalářská práce si klade za cíl čtenáře seznámit s vybranými vlastnostmi prvočísel, včetně důkazů v těch případech, kdy to bude vhodné a zejména možné. Práce dále naznačí čtenáři v čem tkví souvislost mezi prvočísly a Riemannovou hypotézou, seznámí jej se základním principem RSA, případně dalšími vhodnými aplikacemi prvočísel v matematice.
Základní znalosti z teorie čísel, obecné algebry, analýzy a diskrétní matematiky. Základní znalost anglického jazyka. Práce by měla být psána tak, aby mohla celá, nebo její části, sloužit jako materiál pro úvod studia dané problematiky. Práce by měla být psaná v LaTeXu, bude-li to v možnostech studenta.
Zásady pro vypracování
Přirozená čísla mající právě dva různé přirozené dělitele, tedy prvočísla, hrají stěžejní roli v elementární aritmetice, díky čemuž se s nimi lidé potkávají a potýkají již od nepaměti. Do dnešních dní byla objevena celá řada pozoruhodných a často velmi důležitých vlastností těchto čísel. Další řada otázek souvisejících s prvočísly, např. s jejich rozložením na číselné ose, zůstává stále nezodpovězena. Našli jsme různá jejich zobecnění, např. tzv. Gaußova prvočísla. Našli jsme hluboké souvislosti mezi prvočísly a dalšími disciplínami matematiky, např. tzv. Riemannova hypotéza. Dokázali jsme je i prakticky využít, např. v tzv. RSA šifrování.
Tato bakalářská práce si klade za cíl čtenáře seznámit s vybranými vlastnostmi prvočísel, včetně důkazů v těch případech, kdy to bude vhodné a zejména možné. Práce dále naznačí čtenáři v čem tkví souvislost mezi prvočísly a Riemannovou hypotézou, seznámí jej se základním principem RSA, případně dalšími vhodnými aplikacemi prvočísel v matematice.
Základní znalosti z teorie čísel, obecné algebry, analýzy a diskrétní matematiky. Základní znalost anglického jazyka. Práce by měla být psána tak, aby mohla celá, nebo její části, sloužit jako materiál pro úvod studia dané problematiky. Práce by měla být psaná v LaTeXu, bude-li to v možnostech studenta.
Seznam doporučené literatury
Tom Mike Apostol: Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1976.
Marcus du Satoy: The music of the primes: Searching to solve the greatest mystery in mathematics, Harper Perennial, 2003.
Marcus du Satoy: Hudba prvočísel: Dvě století Riemannovy hypotézy (překlad Luboš Pick, Mirko Rokyta), Argo Dokořán, 2019.
Albert Edward Ingham: The distribution of prime numbers, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1964.
Dimitris Koukoulopoulos: The distribution of prime numbers, Graduate Studies in Mathematics 203, American Mathematical Society, 2020.
Barry Mazur, William Stein: Prime numbers and the Riemann hypothesis, Cambridge University Press, 2016.
Alfred Menezes, Paul van Oorschot, Scott Vanstone: Handbook of applied cryptography, CRC Press, 1996.
David Stanovský: Základy algebry, Matfyzpress, 2010.
Ramin Takloo-Bighash: A Pythagorean Introduction to Number Theory: Right Triangles, Sums of Squares, and Arithmetic, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2018.
Gerald Tenenbaum, Michel Mendes France: The prime numbers and their distribution, Student Mathematical Library 6, American Mathematical Society, 2000.
Seznam doporučené literatury
Tom Mike Apostol: Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1976.
Marcus du Satoy: The music of the primes: Searching to solve the greatest mystery in mathematics, Harper Perennial, 2003.
Marcus du Satoy: Hudba prvočísel: Dvě století Riemannovy hypotézy (překlad Luboš Pick, Mirko Rokyta), Argo Dokořán, 2019.
Albert Edward Ingham: The distribution of prime numbers, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1964.
Dimitris Koukoulopoulos: The distribution of prime numbers, Graduate Studies in Mathematics 203, American Mathematical Society, 2020.
Barry Mazur, William Stein: Prime numbers and the Riemann hypothesis, Cambridge University Press, 2016.
Alfred Menezes, Paul van Oorschot, Scott Vanstone: Handbook of applied cryptography, CRC Press, 1996.
David Stanovský: Základy algebry, Matfyzpress, 2010.
Ramin Takloo-Bighash: A Pythagorean Introduction to Number Theory: Right Triangles, Sums of Squares, and Arithmetic, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2018.
Gerald Tenenbaum, Michel Mendes France: The prime numbers and their distribution, Student Mathematical Library 6, American Mathematical Society, 2000.